问题标题：
【请教复合函数求导法则证明中的的疑问在证明由函数y=f(u)与u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义】
问题描述：
请教复合函数求导法则证明中的的疑问
在证明由函数y=f(u)与u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义当△u=0时,a=0.
疑问:1.补充定义当△u=0时,a=0有什么作用？
2.能否补充定义当△u=0时,a=1（或a为其他的常数）？
贾立好回答：
我来回答吧，毕竟是数学系的
1.a的作用是达到一种理想化状态，既是a趋近于零
2.不能，因为题中已经说到a是无穷小量
唐美斌回答：
你说的是这种证法吧当然这个定理有很多证法我根据这个证法回答问题
因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
则lim(Δx->0)α=0
最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
1.补充定义当△u=0时,a=0有什么作用？就是让Δy/Δu=f'(u)，因为f'(u)就是这样定义的，所以必然啊。
2.2.能否补充定义当△u=0时,a=1（或a为其他的常数）？还是这个问题，不等于0了就不符合导数的定义了
这样回答略显草率的是导数定义只说Δu趋向0时a趋向0，而没说Δu=0时a=0。但你可以看一下下面这个引理，它说明了H(x)在点x0连续，从而a在x0不能不连续。
引理：
f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某领域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心领域)；H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)
所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)
引理证毕。
霍龙社回答：
你看的什么书，别看这个书，误人子弟。
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