问题标题：
若过点（1,1）的曲线在其上任一点（x,y）处若过点（1,1）的曲线在其上任一点（x,y）出的切线在纵轴上的截距等于切点到原点的距离的平方与切点的横坐标之比,求此曲线方程
问题描述：
若过点（1,1）的曲线在其上任一点（x,y）处
若过点（1,1）的曲线在其上任一点（x,y）出的切线在纵轴上的截距等于切点到原点的距离的平方与切点的横坐标之比,求此曲线方程
常国岑回答：
过点（1,1）的曲线在其上任一点（x,y）处的切线在纵轴上的截距为y-xy'
由题意可得方程为:y-xy'=(x^2+y^2)/x,即y'=-y^2/x^2+y/x-1
令u=y/x,则y'=dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+u=-u^2+u-1
所以-du/(u^2+1)=dx/x,所以arccotu=ln|x|+c(其中c为任意常数)
将u=y/x代入上式得：arccot(y/x)=ln|x|+c(其中c为任意常数)
又该曲线方程过点(1,1),所以arccot1=ln1+c,解得c=π/4
所以所求曲线方程为：arccot(y/x)=ln|x|+π/4
点击显示
数学推荐
热门数学推荐