1. 　　由于f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立 　　又：f(x)是在R上的减函数 　　则有：a^2-sinx≥a+3/4+(cosx)^2 　　即：a^2-a-3/4≥(cosx)^2+sinx 　　a^2-a-3/4≥[1-(sinx)^2]+sinx 　　故：a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max 　　设t=sinx,f(t)=-t^2+t+1 　　由于X属于R,则t=sinx属于[-1,1] 　　又：f(t)=-(t^2-t-1) 　　=-(t^2-t+1/4-5/4) 　　=-(t-1/2)^2+5/4 　　则当t=1/2时,f(t)max=f(1/2)=5/4 　　故：a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max=5/4 　　则：a^2-a-2≥0 　　(a+1)(a-2)≥0 　　则:a≥2或a≤-1 　　2.由于对于任意实数x, 　　都有：x≤f(x)≤1/2(x^2+1) 　　令X=1 　　则有：1≤f(1)≤1 　　即：f(1)=1 　　则由f(-1)=0,得：a-b+c=0 　　f(1)=1,得：a+b+c=1 　　联立,得b=a+c=1/2 　　又因为：对任意实数x,都有f(x)-x≥0 　　即ax^2-x/2+c≥0 　　所以:判别式小于等于0,且a>0 　　即ac≥1/16 　　又因为a+c≥2√ac≥2√(1/16)=1/2 　　且已知a+c=1/2 　　所以a=c=1/4 　　故存在实数a=1/4,b=1/2,c=1/4,使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立