问题标题:
求高人解答一道导数的答题解题步骤(部分没看懂)已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a(a属于R)若函数的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围f(x)=(1/3)x³-x²+ax-af'(x)=x²-2x+a由题意:f(x)单调,
问题描述:
求高人解答一道导数的答题解题步骤(部分没看懂)
已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a(a属于R)
若函数的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围
f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
f'(x)=x²-2x+a
由题意:f(x)单调,或者f(x)的极大值在x轴下方,或者x的极小值在x轴上方
①f(x)单调,则f'(x)>=0或f'(x)0,a
f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a=(1/3)(x²-2x+a)(x-1)+(2/3)(ax-a-x)
这个解析式分解后出现的x²-2x+a恰好是f'(x)=x²-2x+a
这个是巧合?
苏仲飞回答:
问题:f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a=(1/3)(x²-2x+a)(x-1)+(2/3)(ax-a-x)这个函数解析式是如何变化得到的,是否有相关的定理或公式.f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a=(1/3)(x³-3x²+3ax-3a)=(1/3)[x...
李红松回答:
(x)=(1/3)x³-x²+ax-a=(1/3)(x²-2x+a)(x-1)+(2/3)(ax-a-x)这个解析式分解后出现的x²-2x+a恰好是f'(x)=x²-2x+a,并且有x-1存在这个是巧合?
苏仲飞回答:
不是巧合,是为了简化计算特意配的。因为极值点x=1-√(1-a)和x=1+√(1-a)是f'(x)=x²-2x+a=0的根,如果不把x²-2x+a从f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a中分解出来,直接把两个无理根代入f(x)的表达式求极值,计算很麻烦!而分解出来后,就只需计算(2/3)(ax-a-x)的值就可以了。
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