问题标题：
已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数；(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?急
问题描述：
已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.
(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数；
(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?
急
程万胜回答：
（1）由题意知,AB为直径的半圆的半径为a,0°＜2θ＜120°,∴0°≤θ≤60°,
△PAO中,由余弦定理得PA=
a2+a2-2a•acos(180°-2θ)
=2acosθ,
同理可求得PB=
a2+a2-2a•acos2θ
=2asinθ,
PC=
a2+a2-2a•acos(120°-2θ)
=2asin（60°-θ）,
∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（
32
cosθ-
12
sinθ）
=asinθ+（2+
3
）acosθ．
（2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+
3
）acosθ=2a
2+3
（
122+3
sinθ+
2+322+3
cosθ）
令cosα=
122+3
,sinα=
2+322+3
,则f（θ）=2a
2+3
sin（θ+α）,
取锐角α,则α=arcsin
2+322+3
＞45°,故当θ=90°-arcsin
2+322+3
时,sin（θ+α）=1取得最大值,
此时,f（θ）取最大值2a
2+3
．
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