首先重申一下定理吧： 　　若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使 　　∫(a→b)ƒ(x)dx=ƒ(ζ)(b-a),ζ∈(a,b) 　　或∫(a→b)ƒ(x)g(x)dx=ƒ(ζ)∫(a→b)g(x)dx 　　同样地对于∫(n→n+a)xsin(1/x)dx运用积分中值定理 　　函数xsin(1/x)在闭区间[n,n+a]上连续可积,则存在一点ζ∈[n,n+a] 　　使得∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=ζsin(1/ζ)•[(n+a)-n]=aζsin(1/ζ) 　　于是lim(n→∞)∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=a•lim(n→∞)sin(1/ζ)/(1/ζ)=a•1=a 　　注意这里的ζ,是n≤ζ≤n+a,当n趋向无穷时,ζ也趋向无穷 　　所以lim(n→∞)sin(1/ζ)/(1/ζ)=1,相当于重要定理lim(x→0)(sinx)/x=1