问题标题：
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(O,3),与x轴分别交于B(1,O),C(5,O)两点。若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F),最后运动到点A,求使点P
问题描述：
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(O,3),与x轴分别交于B(1,O),C(5,O)两点。
若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
白玉洁回答：
由所给的条件很简单可以得到：
(1)点A(0,3)
(2)抛物线方程为：y=(3/5)x^2-(18/5)x+3
但是题目没有说清楚动点P是沿着什么路线运动？【注意是“路线”！】是不是在整个坐标平面上运动？！
下面的思路是基于“在整个坐标平面上任意运动”！
如图
OA中点M(0,3/2)
作点M关于x轴的对称点N(0,-3/2)
作点A(0,3)关于抛物线对称轴x=3的对称点D(6,3)
连接DN，与x轴交于点E，与抛物线对称轴x=3交于点F
上述点E、F即为满足路径最短的条件
证明：
因为M、N关于x轴对称，所以：x轴上任意一点到M、N的距离相等
即，ME=NE
同理，A、D关于抛物线对称轴x=3对称，那么直线x=3上的任意一点到A、D的距离也相等
即，AF=DF
所以，P点运动的路径ME+EF+FA=NE+EF+FD=ND………………（1）
取不同于上述路径的任意一条路径，它交x轴于点G，交对称轴x=3于点H
则由前面的分析知，MG=NG、HA=HD
所以，新的路径MG+GH+HA=NG+GH+HD…………………………（2）
因为两点之间以线段的距离最短，即两点间的折线是大于线段长的
所以，由(1)(2)知，NG+GH+HD＞ND
所以，路径M→E→F→A为最短
由上面分析知，点N(0,-3/2)，点D(6,3)
那么，设过点ND的直线方程为：y=kx+b
所以：
0+b=-3/2
6k+b=3
解得：k=3/4、b=-3/2
所以，CD所在直线方程为：y=(3/4)x-(3/2)
则，点F为上述直线与对称轴x=3的交点
所以：y=(3/4)x-(3/2)、x=3
解得：y=3/4
所以，点F(3,3/4)
【同理也可以求出点E(2,0)】
一道不错的题目！！
回答：2010-01-0611:59提问者对答案的评价：
感谢共0条评论...
点击显示
其它推荐
热门其它推荐