问题标题：
（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．（I）求证：1n＜f（1n）＜2n（n∈N+）；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
问题描述：
（理）已知函数f（x）=sinx+ln（1+x）．
（I）求证：
（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
石军梅回答：
（Ⅰ） 令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x．∵g′（x）=2-cosx-1x+1，定义域为（0，+∞）；∴g（x）在（0，+∞）递增，?g（1n）＞g（0）?2×1n-f（1n）＞0?f（1n）＜2n；G（x）在（0，1]递增?G（1n）＞G（0）?f（1n）-1n＞0?f（1n）＞1n．从而可得结论．（Ⅱ） ①当a≥2时，对x≥0，由（Ⅰ） 的证明知f（x）≤2x≤ax．②当a≤0时，f(π2)=1+ln(1+π2)＞0≥a?π2，不合题意．③当0＜a＜2时，今F（x）=f（x）-ax．则F′(x)=cosx+11+x-a=(cosx-a2)+(11+x-a2)．取x0=min{arccosa2，2a-1}．则x0＞0．易知当x∈（0，x0）时，F'（x）＞0，∴F（x）递增?F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞ax，不合题意．综上知：a∈[2，+∞）．
点击显示
数学推荐
热门数学推荐