（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； 　　（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标； 　　（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标， 　　【解析】 　　（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）． 　　（2）∵△PAB是等边三角形， 　　∴∠ABO=90°-60°=30°． 　　∴AB=20A=4． 　　∴PB=4． 　　解法一：把y=4代入y=x2+1， 　　得  x=±2． 　　∴P1（2，4），P2（-2，4）．   　　解法二：∴OB==2 　　∴P1（2，4）．     　　根据抛物线的对称性，得P2（-2，4）．  　　（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4） 　　∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b 　　∴ 　　解得： 　　∴解析式为：y=x+2 　　设存在点N使得OAMN是菱形， 　　∵点M在直线AP上， 　　∴设点M的坐标为：（m，m+2） 　　如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ-OA=m+2-2=m 　　∵四边形OAMN为菱形， 　　∴AM=AO=2， 　　∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2， 　　即：m2+（m）2=22 　　解得：m=± 　　代入直线AP的解析式求得y=3或1， 　　当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况： 　　当N在右图1位置时， 　　∵OA=MN， 　　∴MN=2， 　　又∵M点坐标为（，3）， 　　∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）． 　　当N在右图2位置时， 　　∵MN=OA=2，M点坐标为（-，1）， 　　∴N点坐标为（-，-1），即N2坐标为（-，-1）． 　　当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况： 　　第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（-，1）； 　　第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，-1） 　　∴存在N1（，1），N2（-，-1）N3（-，1），N4（，-1）使得四边形OAMN是菱形．