问题标题：
已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹于、两点，试问在轴上是否存在一点使得以、为邻边的
问题描述：
已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹于、两点，试问在轴上是否存在一点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点的活动范围；若不存在，试说明理由.
邵正隆回答：
解析：（1）双曲线的方程可化为，则，，所以点的轨迹是以、为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为.………………………………………………………………（4分）
（2）假设存在满足条件的点，设直线的方程为，代入椭圆方程得.设，由韦达定理得，.……………………（6分）
，，，
又.
因为以、为邻边的平行四边形为菱形，所以，
，即，整理得，
，.………………………………（8分）
若，则（当且仅当时取等号），即；
若，则（当且仅当时取等号），即.
综上可得，满足条件的点存在，其活动范围是轴上满足且的区域.…………………………………………………………………………（10分）
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