设长方体长为x,宽为y,高为z 　　目标函数f(x,y,z)=xyz 　　限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a² 　　即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0 　　引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²] 　　则 　　L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1) 　　L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2) 　　L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3) 　　φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4) 　　由(1)(2)(3)得 　　x=y=z=4λ 　　代入(4)得 　　λ=a/√96=√6a/24 　　即驻点为P(x,y,z)=P(√6a/24,√6a/24,√6a/24) 　　唯一驻点,故最值 　　最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304