问题标题:
2010江苏徐州数学中考压轴题
问题描述:
2010江苏徐州数学中考压轴题
付家伦回答:
(江苏省徐州市)如图,已知二次函数y=-x2+x+4的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为____________,点C的坐标为____________;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有两个,并求出此时点P的坐标.
(1)A(0,4),C(8,0)2分
(2)存在
设直线AC的解析式为y=kx+b
则b=48k+b=0解得k=-b=4
∴直线AC的解析式为y=-x+43分
∵抛物线的对称轴为x=-=3,∴D(3,0)
∴AD==5,DC=8-3=5,∴AD=DC
①当DE=DC时,点E与点A重合,∴E1(0,4)
4分
②当EC=DC时,则EC=5,又AC==
如图①,过E作EF⊥DC于F,则△EFC∽△AOC
∴=,即=,∴EF=,∴FC=
由-x+4=得x=8-
∴E2(8-,)5分
③当ED=EC时,如图①,过E作EG⊥DC于G,则DG=DC=
∴OG=OD+DG=3+=,代入y=-x+4,得y=
∴E3(,)6分
综上所述,符合条件的点E有三个:E1(0,4),E2(8-,),E3(,)
(3)方法1:如图②,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q
设P(m,-m2+m+4),则Q(,-m+4)
①当0<m<8时
PQ=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+2m
S△PAC=S△APQ+S△CPQ=×8×(-m2+2m)=-(m-4)2+16
∴0<S≤167分
②当-2<m<0时
PQ=(-m+4)-(-m2+m+4)=m2-2m
S△PAC=S△CPQ-S△APQ=×8×(m2-2m)=(m-4)2-16
∴0<S<20
故S=16时,相应的点P有且只有两个8分
当m=4时,S=16,此时y=-m2+m+4=6
∴P1(4,6)9分
由(m-4)2-16=16,得m1=4+(舍去),m2=4-
∴y=-m2+m+4=-2
∴P2(4-,-2)10分
方法2:如图③,将线段AC向上平移,记平移后的线段为A′C′,在A′C′与抛物线相切前,A′C′与抛物线始终有两个交点,加上线段AC下方的一个点,共有三个P点可以构成△PAC;当A′C′与抛物线相切时,满足条件的点P有且只有两个.
设直线A′C′的解析式为y=-x+b,代入抛物线的解析式得:
-x2+x+4=-x+b,整理得:x2-8x+4b-16=0
当A′C′与抛物线只有一个交点时,Δ=(-8)2-4(4b-16)=0
解得b=8,∴A′A=AO=4
又∵A′C′‖AC,∴△PAC和△AOC的公共边AC上的高也相等
∴S△PAC=S△AOC=×8×4=16
故当S=16时,相应的点P有且只有两个8分
联立y=-x+8y=-x2+x+4解得x=4y=6
∴P1(4,6)9分
将线段AC向下平移至经过原点O,并向上延长交抛物线于点P2,
则S△P2AC=S△P1AC=S△AOC=16,直线OP2的解析式为y=-x
把y=-x代入y=-x2+x+4,得-x2+x+4=-x
解得x1=4+(舍去),x2=4-,∴y=-2
∴P2(4-,-2)10分
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