令f(t)=√(x^2+y^2+z^2)*x,易知f(t)是以2*π为周期的周期函数 　　再令变上限积分函数：F(x)=∫{0,x}f(t)dt,x≥0 　　可以证明F(x)是以2*π为周期的周期函数(见附录),F(x)图像如下图所示 　　因此,若F(b)=∫{0,b}f(t)dt=10且该方程有解,则在b≥0时有无穷多解 　　而对一个具体问题,若积分上限有范围,求出该范围内的解即可 　　若没有范围限制,求出一个周期内的所有解,再加上周期的整数倍即可 　　从上图可见,b在[0,1]与[2,3]均有一根,即一个周期内有两个实根 　　函数m文件(存为ni.m)： 　　---------------------------------------------------------------------------------------- 　　functionI=ni(b) 　　%用辛普森公式求数值积分∫{0,b}f(t)dt 　　fori=1:length(b) 　　I(i)=quad(@integrand,0,b(i)); 　　end 　　functionf=integrand(t) 　　%建立被积函数f(t) 　　a=1; 　　R1=10; 　　R2=5; 　　x=R2*cos(t)/a+sqrt(a^2+1)*cos(t).*sin(t)./(a*(R1^2-R2^2*cos(t).^2)); 　　y=R2*cos(t); 　　z=-R2*sin(t); 　　f=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2).*x; 　　---------------------------------------------------------------------------------------- 　　输入： 　　clear 　　fz=@(b)(ni(b)-10); %建立方程I=10 　　b1=fzero(fz,[0,1]) %有根区间取[0,1],以下类似 　　b2=fzero(fz,[2,3]) 　　b3=fzero(fz,[6,7]) 　　b4=fzero(fz,[9,10]) 　　输出： 　　b1=0.288539440045146 　　b2=2.853053213392633 　　b3=6.571724770845351 　　b4=9.136238520186859 　　---------------------------------------------------------------------------------------- 　　可见b3≈b1+2*π,b2≈b4+2*π 　　附录　证明F(x)是以2*π为周期的周期函数 　　∵∫{0,2*π}f(t)dt=∫{0,π}f(t)dt+∫{π,2*π}f(t)dt 　　=∫{0,π}[f(t)+f(-t)]dt 对第2个积分换元并整理得 　　=∫{0,π/2}[f(t)+f(-t)]dt+∫{π/2,π}[f(t)+f(-t)]dt 　　=∫{0,π/2}[f(t)+f(π-t)+f(-t)+f(t-π)]dt 对第2个积分换元并整理得 　　=0 由于f(t)+f(π-t)=0,f(-t)+f(t-π)=0 　　∴F(x+2*π)=∫{0,x+2*π}f(t)dt 　　=∫{0,x}f(t)dt+∫{x,x+2*π}f(t)dt 　　=∫{0,x}f(t)dt+∫{0,2*π}f(t)dt 由于f(t)是以2*π为周期的周期函数 　　=∫{0,x}f(t)dt+0 　　=F(x) 　　即F(x)是以2*π为周期的周期函数