问题标题：
【第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>0,b>0,||是绝对值】
问题描述：
第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>0,b>0,||是绝对值
田娟秀回答：
由于被积函数关于x和y均是偶函数,而积分曲线关于两坐标轴均对称,因此使用两次奇偶对称性,可得：
原式=4∫xyds,其中积分区域L只剩第一象限部分
使用参数方程：x=acosu,y=bsinu,u：0→π/2
ds=√[(x')²+(y')²]du=√(a²sin²u+b²cos²u)du
原式=4∫xyds
=4ab∫[0→π/2]cosusinu√(a²sin²u+b²cos²u)du
=4ab∫[0→π/2]cosusinu√[a²sin²u+b²(1-sin²u)]du
=4ab∫[0→π/2]cosusinu√[(a²-b²)sin²u+b²]du
=4ab∫[0→π/2]sinu√[(a²-b²)sin²u+b²]d(sinu)
=2ab∫[0→π/2]√[(a²-b²)sin²u+b²]d(sin²u)
=(2/3)[2ab/(a²-b²)][(a²-b²)sin²u+b²]^(3/2)|[0→π/2]
=(4/3)ab(a³-b³)/(a²-b²)
=(4/3)ab(a²+ab+b²)/(a+b)
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.
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