字典翻译 问答 其它 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a＝−14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（文）（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x，求证：ln{(1
问题标题：
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a＝−14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（文）（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x，求证：ln{(1
问题描述：

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．

（1）当a＝−14时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

（文）（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x，求证：ln{(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)•…•[1+2n(2n−1+1)(2n+1)]}＜1（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．

（Ⅲ）求证：(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)•…•[1+2n(2n−1+1)(2n+1)]＜e（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．

董丽君回答：
　　（Ⅰ）当a＝−14时，f(x)＝−14x2+ln(x+1)（x＞-1），f′(x)＝−12x+1x+1＝−(x+2)(x−1)2(x+1)（x＞-1），由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减...
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