问题标题:
【已知函数,其中,b∈N,c∈Z.(1)若b>2a,且f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求f(x)的最小值;(2)若对任意实数x,不等式,且存在使得成立,求c的值.____】
问题描述:
已知函数,其中,b∈N,c∈Z.
(1)若b>2a,且f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求f(x)的最小值;
(2)若对任意实数x,不等式,且存在使得成立,求c的值.____
方晓东回答:
【分析】(1)先由题找到x∈[-1,1],f(x)max=2,f(x)min=-4再利用a∈N*,b∈N和b>2a,判断出函数在x∈[-1,1]上递增,再利用f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求出a,b,c.在利用配方法求出f(x)的最小值;
n(2)先由4≤f(1)≤4找到a+b+c=4①,再f(x)≥4x恒成立⇒Δ=(b-4)2-4ac≤0②,和f(x)≤2(x2+1)的结合求出a=1,c=1.(注意对二次项系数的讨论).
(1)据题意x∈[-1,1]时,f(x)max=2,f(x)min=-4,.
n∵b>2a>0,
n∴,
n∴f(x)在[-1,1]上递增,
n∴f(x)min=f(-1),f(x)max=f(1),
n∴,
n解得b=3,a+c=-1.
n∵b>2a,
n∴.
n又a∈N*,
n∴a=1,
n∴c=-2.
n∴,
n∴.
n(2)由已知得,4≤f(1)≤4,
n∴f(1)=4,即a+b+c=4①.
n∵f(x)≥4x恒成立,
n∴ax2+(b-4)x+c≥0恒成立,
n∴Δ=(b-4)2-4ac≤0②.
n由①得b-4=-(a+c),代入②得(a-c)2≤0,
n∴a=c.
n由f(x)≤2(x2+1),得(2-a)x2-bx+2-c≥0恒成立.
n若a=2,则b=0,c=2,
n∴f(x)=2(x2+1),不存在x0使f(x0)<2(x02+1),与题意矛盾,
n∴2-a>0,∴a<2,
n又a∈N*,
n∴a=1,c=1.
【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题,以及恒成立问题,是道综合题关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大;开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大,离对称轴越远函数值越小.
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