（1）如图①,当PA的长度等于2 　　2 　　时,∠PAD=60°；当PA的长度等于2 2 　　或8 5 　　5 　　2 2 　　或8 5 　　5 　　时,△PAD是等腰三角形； 　　（2）如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O）,把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a,b）,试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形．专题：几何综合题；数形结合；方程思想．分析：（1）由AB是直径,可得∠APB=90°,然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时,△PAB是等腰三角形,然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案． 　　（2）过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E,F延长FP交BC于点G,则PG⊥BC,P点坐标为（a,b）,PE=b,PF=a,PG=4-a,利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．（1）若∠PAD=60°,需∠PAB=30°, 　　∵AB是直径, 　　∴∠APB=90°, 　　则PA=2, 　　∴当PA的长度等于2时,∠PAD=60°； 　　若△PAD是等腰三角形,当PA=PD时, 　　此时P位于四边形ABCD的中心, 　　过点P作PE⊥AD于E,作PM⊥AB于M, 　　则四边形EAMP是正方形, 　　∴PM=PE=1 2 AB=2, 　　∵PM2=AM•BM=4, 　　∵AM+BM=4, 　　∴AM=2, 　　∴PA=2 2 , 　　当PD=DA时,以点D为圆心,DA为半径作圆与弧AB的交点为点P． 　　连PD,令AB中点为O,再连DO,PO, 　　则△ADO≌△PDO, 　　∴DO⊥AP,AG=PG, 　　∴AP=2AG, 　　又∵DA=2AO, 　　∴AG=2OG, 　　设AG为2x,OG为x, 　　∴（2x）2+x2=4, 　　∴x=2 5 5 　　∴AG=2x=4 5 5 , 　　∴AP=8 5 5 　　∴当PA的长度等于2 2 或8 5 5 时,△PAD是等腰三角形； 　　（2）过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E,F延长FP交BC于点G, 　　则PG⊥BC, 　　∵P点坐标为（a,b）, 　　∴PE=b,PF=a,PG=4-a, 　　在△PAD,△PAB及△PBC中, 　　S1=2a,S2=2b,S3=8-2a, 　　∵AB为直径, 　　∴∠APB=90°, 　　∴PE2=AE•BE, 　　即b2=a（4-a）, 　　∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16, 　　∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值16．点评：此题考查了正方形的性质,圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强,解题时要注意数形结合与方程思想的应用．