【分析】(1)根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数，利用f′(1)=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间； 　　(2)根据(1)求出函数f(x)的最大值为g(a)，构造函数φ(a)=ln()-，利用导数研究该函数的最值，即可证明结论； 　　(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论． 　　(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， 　　∵f′(x)=， 　　∴b=a-1， 　　∴f′(x)=， 　　当f′(x)>0时，得-， 　　∵x>0，a>0，解得0<x<1， 　　当f′(x)<0时，得-， 　　∵x>0，a>0，解得x>1， 　　∴当f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 　　(2)证明：g(a)=f(1)=，f′(x)=(x>0)， 　　令φ(a)=ln()-，则φ′(a)=0， 　　∴φ(a)在(0，+∞)上是减函数， 　　∴φ(a)<φ(0)=0，即ln()-0， 　　(3)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”， 　　则kAB=+a-1， 　　f′()=， 　　又kAB=f′()得， 　　∴ln=t，(t>1)，则lnt=2-，(t>1)，此式表示有大于1的实数根， 　　令h(t)=lnt+-2(t>1)，则h′(t)=>0 　　∴h(t)是(1，+∞)上的增函数， 　　∴h(t)>h(1)=0，与lnt=2-，(t>1)有大于1的实数根相矛盾， 　　∴函数f(x)的图象上不存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得AB存在“中值相依切线”． 　　【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．