对于第一步,实际上就相当于一元一次方程. 　　a(4)=2a(3)+2^4-1解出a(3)=33 　　余此类推a(2)=13,a(1)=5 　　对于第二步,可对递推公式a(n)=2a(n-1)+2^n-1逐层削减,把a(n-1)换成a(n-2),再把a(n-2)换成a(n-3),……,最后一直到a(1).具体过程如下： 　　a(n)=2a(n-1)+2^n-1 　　=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1 　　=2^2a(n-2)+(2^n-2)+(2^n-1) 　　=2^2[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+(2^n-2)+(2^n-1) 　　=2^3a(n-3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1) 　　=2^3[2a(n-4)+2^(n-3)-1]+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1) 　　=2^4a(n-4)+(2^n-2^3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1) 　　………… 　　由于1=n-(n-1),所以可用n-1、n-2替换上式中的4、3 　　上面式子最后削减到a1时的表达式为 　　a(n)= 　　2^(n-1)*a(1)+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-3)]+……+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1) 　　=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)] 　　=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^(n-1)-1] 　　=2^(n-1)*5+(2n-3)*2^(n-1)+1 　　=(n+1)*2^n+1 　　此即数列的同项公式(其中*代表乘号) 　　以n=1、2、3、4代入验证,与前面求出的5、13、33、81一致. 　　尽管通项公式求出,但求S(n)还不是显而易见的.下面求S(n). 　　重新回答题中给出的a(n)=2a(n-1)+2^n-1 　　可转化为a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1 　　因此 　　a(2)-a(1)=a(1)+2^2-1 　　a(3)-a(2)=a(2)+2^3-1 　　a(4)-a(3)=a(3)+2^4-1 　　…… 　　a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1 　　上面各等式相加.得到 　　a(n)-a(1)=[a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n-1)]+[2^2+2^3+……+2^n]-(n-1)*1 　　=S(n-1)+4*[2^(n-1)-1]-(n-1) 　　=S(n-1)+2^(n+1)-n-3 　　将a(n)的表达式代入其中,得到前n-1项的和 　　S(n-1)=(n+1)*2^n+1-5-2^(n+1)+n+3 　　=(n-1)*2^n+n-1 　　以n替换n-1,得到前n项和的表达式： 　　S(n)=n*2^(n+1)+n 　　以n=1、2、3、4代入验证得到 　　S(1)=5、S(2)=18、S(3)=51、S(4)=132,与实际结构一致.所求表达式正确! 　　这题好麻烦的呀.