空间点阵理论(Bravais空间点阵学说)晶体结构=点阵+基元晶体结构=点阵+基元晶格=点阵+基元晶格=点阵+基元格点=阵点+基元格点=阵点+基元点阵的数学性质点阵是一种数学抽象,其性质完全是数学问题.实际晶体结构基元如何"附着"到点阵上点阵的数学性质点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性点阵的定义空间中周期性排列的无穷多点的集合,或者由矢量r=ma1+na2+pa3给定的无穷多点的集合,其中a1,a2,a3为任意不共面的矢量,m,n,p为任意整数.点阵的数学性质点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性几何图形表示:点阵,格子平行六面体(为什么可以用平行六面体来表示点阵:它可以完全反映点阵的几何特性)原胞:最小的重复单元,有多种选择,惯用选取晶胞:考虑了对称性的最小重复单元,总是原胞体积的整倍数,惯用晶胞的选取点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性点阵里的数学描述坐标系的选取:原点(无关紧要的),基矢(原胞基矢a1,a2,a3,晶胞基矢a,b,c)任一阵点位置:r=ma1+na2+pa3m,n,p为任意整数;如果是晶胞基矢,m,n,p可能为分数.平移周期性:Γ(r)=Γ(r+ma1+na2+pa3)Γ可以代表晶体里原子的分布情况或其它物理量,如晶格势场和电子电荷密度点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性点阵里的数学描述晶向:过原点的晶列上任意阵点坐标转化为互质整数[uvw],因对称性而等效的晶向表示为.晶面密勒指数:与坐标轴截距的倒数比并转化为互质整数(hkl),因对称性而等效的晶面族表示为{hkl}.晶面方程:rn=μd即晶面族中的一个晶面由其法线方向n及其与原点距离d决定,μ为整数,r为晶面上阵点矢量.(144)(210)(623)点阵的数学性质————坐标与周期性坐标与周期性数学性质在点阵定义下,其数学性质可以是多种多样的,但对晶体学和固体物理学而言,有应用的性质才有实际意义.例如,一条直线过两个阵点,必过无穷多个阵点,且阵点距离相等.试证明:有没有只过一个阵点的直线反证法:假设直线在某个晶面内,为简单计假设此晶面为正交或正方二维点阵.取此阵点为原点,直线与坐标轴夹角的正切为tgθ.若此直线过另外一个阵点,tgθ必为有理数.但tgθ可以为无理数,所以直线可以不过其它的阵点.证毕试证明:晶胞中,阵点只能出现在顶点,体心和面心位置,不能出现在棱上.点阵的数学性质————对称性对称性几何图形的对称性对称性是指经过对称操作之后几何图形在空间上与自身重合的几何性质,对称元素则代表一类对称操作.例如图形每旋转90度(对称操作)都重合,就包含一个4次旋转轴(对称元素).几何图形的对称元素对称性有高低之分,可以用包含的对称元素的种类和数量来衡量.有限几何图形只能有宏观对称元素:旋转,反演,反映(镜面),象转轴无限几何图形(如点阵)可以有微观对称元素:平移,螺旋轴,滑移反映面点阵的数学性质————对称性对称性几何图形的对称元素的组合对称元素组合在一起不是任意的,一些对称元素的组合有可能导致新的对称元素的出现,这些对称元素是不可分的,形成一个组合,称为对称操作群.如图,2次轴与2次轴相交,夹角为α,则必产生一个n次轴,其基转角为2α,并与这两个2次轴垂直.另一方面,360度必须能够被2α整除,否则n次轴就蜕变为无穷次轴.即只可能在园对称中才可能找到夹角为α的两个2次轴.对称元素必须过空间中同一点,其图形才是有限的,这样的对称操作群称为点群.点阵的数学性质————对称性对称性点阵的对称性点阵的平移周期性对对称元素及其组合有极大的限制性,使得点阵里的宏观对称元素只有8种:1,2,3,4,6,I,m,4此8种对称元素的组合只有32种,即32个点群;若加入微观对称元素,可以得到230种空间群.由此完全地描述了晶体里的对称性.例如点阵平移周期性对旋转轴次的限制可由下图表示:C'D'=AB(1+2Cosθ)因此θ只能有五个取值,对应五个旋转轴.点阵的数学性质————对称性对称性晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性通常并非指外形,而是指点阵和晶格;晶体里有无数的对称元素,但对称性只由一个点群来描述;晶体的"宏观对称性"更多与晶体"宏观物理性质"相对应的意味,它影响着晶体的宏观物理性质.诺埃曼原则:晶体任何的宏观物理性质的对称性不低于其晶体的宏观对称性.立方晶体中光学性质是各向同性的.(证明略)点阵的数学性质————对称性对称性七大晶系基矢a,b,c及其夹角α,β,γ决定了平行六面体(晶胞)的外形,以外形特征来划分总共可以分为7种,各自有其特征对称元素.(完整的对称元素及其组合是由32点群描述的.)根据特征对称元素可以决定点阵属于什么晶系,但是必须依次从高对称晶系到低对称晶系进行判断,即:立方,六方,四方,三方,正交,单斜,三斜惯用坐标系的选取:a,b,c点阵的数学性质————对称性对称性14种Bravais格子尽量在点阵中画出具有更高对称性的平行六面体(晶胞),因此阵点可能出现在底心,体心,面心位置.Bravais在1848年证明了可以有14种晶胞,称为Bravais格子(能反映点阵最高对称性的最小重复单元).二维的Bravais格子:十四种Bravais晶胞点阵的数学性质————对称性对称性晶系和Bravais格子与点群,空间群的关系晶系Bravais格子32点群230空间群到现在为止,已知晶体的结构大都属于230种空间群中的100种.将近有80个空间群中一个例子也没有找到.实际晶体结构简单格子与复式格子基元里的不同原子(原子序数或周围环境不同)以完全相同的Bravais格子结构相互套构在一起,就构成了实际晶体结构.或者理解为,基元以相同的位置和取向附着到点阵点上,也可以得到晶体结构.典型的晶体结构NaCl结构,CsCl结构,金刚石结构(碳,硅,锗)闪锌矿结构(GaAs,InSb,InP),石墨结构ABO3结构与铁电性(BaTiO3)实际晶体结构