问题标题:
【已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.x-1245y1221(1)f(x)的极小值为;(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围】
问题描述:
已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.
x | -1 | 2 | 4 | 5 | |
y | 1 | 2 | 2 | 1 |
(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为 .
卢小林回答:
(1)由导数图象可知导函数的符号,从而可判断函数的单调性,得函数的极值;
(2)函数y=f(x)-a有4个零点,即函数y=f(x)与y=a的图象有4个交点,求出函数f(x)在定义域内的极大值、极小值及端点处的函数值,结合图象即可求得a的取值范围;
【解析】
(1)由导数图象可知,当-1<x<0或2<x<4时,f'(x)>0,函数单调递增,
当0<x<2或4<x<5,f'(x)<0,函数单调递减,
所以当x=0和x=4时,函数取得极大值f(0)=2,f(4)=2,
当x=2时,函数取得极小值f(2)=0,
所以f(x)的极小值为0;
(2)函数y=f(x)-a有4个零点,即函数y=f(x)与y=a的图象有4个交点,
由(1)知,函数取得极大值f(0)=2,f(4)=2,取得极小值f(2)=0,
又f(-1)=1,f(5)=1,
所以1≤a<2,
故答案为:(1)0;(2)[1,2).
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