问题标题:
在几何体ABCDE中,,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=BE=2,CD=1.(1)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l,求证:l∥平面BCDE;(2)在棱BC上是否存在一点F,使得平面AFD⊥平面AFE.____
问题描述:
在几何体ABCDE中,,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=BE=2,CD=1.
(1)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l,求证:l∥平面BCDE;
(2)在棱BC上是否存在一点F,使得平面AFD⊥平面AFE.
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曹新平回答:
【分析】(1)根据CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC判断出CD∥BE,进而利用直线与平面平行的判断定理可知CD∥平面ABE,利用直线与平面平行的性质可推断出CD∥l,进而可推断出l∥平面BCDE;
n(2)根据CD⊥平面ABC推断出CD⊥AF,同时利用AB=AC,F是BC的中点推断出AF⊥BC,AF⊥平面BCDE进而利用直线与平面垂直的性质可知AF⊥DF,AF⊥EF进而可推断出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角,利用勾股定理可推断出FD⊥FE,推断出∠DFE=90°,进而证明出平面AFD⊥平面AFE.
(1)证明:∵CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,
n∴CD∥BE,
n∴CD∥平面ABE.
n又平面ACD∩平面ABE=l,
n∴CD∥l.
n又l⊄平面BCDE,CD⊂平面BCDE,
n∴l∥平面BCDE.
n(2)存在,F是BC的中点,如图,证明如下:
n∵CD⊥平面ABC,
n∴CD⊥AF.
n∵AB=AC,F是BC的中点,
n∴AF⊥BC,AF⊥平面BCDE,
n∴AF⊥DF,AF⊥EF,
n∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角.
n在ΔDEF中,FD=,
n∴FD⊥FE,即∠DFE=90°,
n∴平面AFD⊥平面AFE.
【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定等.要求考生对基本定理能熟练掌握.
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