证明： 　　（证法一） 　　因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得{a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13① 　　所以(1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②（ 　　故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23． 　　又3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③ 　　所以原不等式成立 　　当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23=9(abc)-23时,③式等号成立． 　　即当且仅当a=b=c=314时,原式等号成立． 　　（证法二） 　　因为a,b,c均为正数,由基本不等式得{a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac 　　所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac① 　　同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac② 　　故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③ 　　≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac 　　≥63所以原不等式成立． 　　当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时,③式等号成立． 　　即当且仅当a=b=c=314时,原式等号成立