证法一（初中知识证法）： 　　证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P. 　　设AC=BM=X,MC=AN=Y,则 　　BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y 　　AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2） 　　过N点作NE⊥AM,交AM于E点,则△AEN∽△ACB 　　AE/AN=AC/AM,NE/AN=MC/AM 　　AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2） 　　NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2） 　　过P点作PF⊥BC,交BC于F点,则△PFM∽△ACM,△BPF∽△BNC 　　PF/FM=AC/MC,PF=FM*AC/MC=FM*X/Y 　　PF/BF=CN/BC,PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y） 　　BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y 　　BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）] 　　BF=BM+FM=X+FM 　　FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM 　　FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2） 　　PM/FM=AM/CM 　　PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y] 　　=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 　　PE=AM-AE-PM 　　=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 　　=Y^2/√（X^2+Y^2） 　　=NE 　　因为NE⊥AM,即NE⊥PE 　　可知在直角△NEP中,NE=PE 　　故∠EPN=45° 　　但∠BPM=∠EPN 　　所以∠BPM=45° 　　证法二： 　　证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P. 　　设AC=BM=X,MC=AN=Y,则 　　BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y 　　tan∠AMC=AC/MC=X/Y 　　tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y） 　　∠AMC=∠BPM+∠NBC 　　∠BPM=∠AMC-∠NBC 　　tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC） 　　=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC） 　　=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）] 　　=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）] 　　=（X^2+Y^2）/（X^2+Y^2） 　　=1 　　因为∠BPM