问题标题：
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c的图象为曲线E．（1）若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；（3）在满
问题描述：
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c的图象为曲线E．
（1）若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，设x1，x2∈[-2，6]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤81恒成立．
刘红娟回答：
（1）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），
则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b
由题意知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0，即a2≥3b．
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3处取得极值，
则f'（x）=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3，且满足a2≥3b，
利用韦达定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x3-3x2-9x+c，
∴f′（x）=3x2-6x-9，令f′（x）=0得出x=-1或3，
当x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[-2，-1）上单调递增，
当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（-1，3）上单调递减，
当x∈（3，6），f′（x）＞0，f（x）在x∈（3，6）上单调递增，
因此，f（x）在x=-1时有极大值5+c，x=3时有极小值-27+c，且f（6）=54+c，f（-2）=-2+c．
∴函数f（x）=x3-3x2-9x+c（x∈[-2，6]）的最大值为54+c，最小值为-27+c，
∴|f（x1）-f（x2）|≤|54+c+27-c|=81．
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