问题标题：
【∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来?∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来的?这个式子出现在数学分析华东师大第三版习题全解160页8题】
问题描述：
∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来?
∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来的?这个式子出现在数学分析华东师大第三版习题全解160页8题
李维忠回答：
这个是用欧拉公式得到的
e^(ix)=cosx+isinx
所以
coskx+i*sinkx=e^(ikx)
从1到n求和得
∑coskx+i∑sinkx=∑e^(ikx)=[e^(k+1)ix-e^ix]/(e^ix-1)
而e^(ix)-1=e^(ix/2)[e^(ix/2)-e^(-ix/2)]=2i*e^(ix/2)*sinx/2
所以
∑sinkx
=Im[e^(n+1)ix-e^ix]/(e^ix-1)
=Im[e^ix*(e^(inx)-1)/(e^ix-1)]
=Imi*[e^(ix/2)*(1-e^(inx))/sinx/2]/2
=Re[e^(ix/2)*(1-e^(inx))/sinx/2]/2
=Re[(e^(ix/2)-e^(n+1/2)ix)/2sinx/2]
=[cos(x/2)-cos(n+1/2)x]/2sin(x/2)
卢宏涛回答：
书上写的是∑sinkx=[sin(x/2)-sin(n+1/2)x]/2sin(x/2)
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