问题标题:
【圆内有一定点,圆上有两点P、Q,若∠PAQ=90°,求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.____】
问题描述:
圆内有一定点,圆上有两点P、Q,若∠PAQ=90°,求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.
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姬光荣回答:
【分析】设出交点的坐标,设出两条切线方程,转化为P、Q的方程,求出直线OM与PQ之交点,代入中点E的轨迹方程即可.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则过P、Q的切线方程分别是
x1x+y1y=1,x2x+y2y=1.
又M(m,n)在这两条切线上,有mx1+ny1=1,mx2+ny2=1,
∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1,又两点确定唯一一条直线,
∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1.
又∵E为直线OM与PQ之交点,解方程组⇒x=,y=.
将(,)代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x-=0.
这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程.
【点评】本题考查交轨法求轨迹方程,思路明确,运算复杂,考查运算能力,是难题.
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