设X是一个非空集合.X的一个子集族T称为X的一个拓扑,如果它满足： 　　1．X和空集{}都属于τ 　　2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中 　　3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中. 　　定义中的三个条件称为拓扑公理.条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中. 　　称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间,记作（X,τ）. 　　称τ中的成员为这个拓扑空间的开集. 　　从定义上看,给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集.这些规定不是任意的,必须满足三条拓扑公理. 　　一般说来,一个集合上可以规定许多不相同的拓扑,因此说到一个拓扑空间时,要同时指明集合及所规定的拓扑.在不引起误解的情况下,也常用集合来代指一个拓扑空间,如拓扑空间X,拓扑空间Y等. 　　同时,在拓扑范畴中,我们讨论连续映射.定义为：f:(X,T_1)------>(Y,T_2)（T_1,T_2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集.两个拓扑空间同胚当且仅当存在双向互逆的连续映射.同时,映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义.