如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：

（1）GH：GK的值是否变化？证明你的结论；

（2）连接HK，求证：KH∥EF；

（3）设AK=x，请问是否存在x，使△CKH的面积最大？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．