字典翻译 问答 高中 数学 数学问题:(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形1,(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点(1)求证:MN//平面PAD(2)如果平面AMN⊥平面PCD,求二面角P-CD-B的大小答案:45度最
问题标题:
数学问题:(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形1,(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点(1)求证:MN//平面PAD(2)如果平面AMN⊥平面PCD,求二面角P-CD-B的大小答案:45度最
问题描述:

数学问题:(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形

1,(有图)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

(1)求证:MN//平面PAD

(2)如果平面AMN⊥平面PCD,求二面角P-CD-B的大小

答案:45度

最好解析一下

聂晴晴回答:
  (1)取PD中点E   连接EN   因为N是PC的中点   所以EN平行CD,且EN=CD/2   因为M是AB中点   所以AM=AB/2   因为ABCD是矩形,AB=CD   所以AM=CD/2   因此AM=EN   因为AM平行CD,EN平行CD   所以AM平行EN   因此AMNE是平行四边形   所以MN平行AE   因为AE在平面PAD中   所以MN//平面PAD   (2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA垂直CD   因为CD垂直AD,AD交CD于D,所以CD垂直平面PAD,因为CD平行EN   因此EN垂直平面PAD,所以EN垂直AE,因为AE平行MN   因此MN垂直EN,   因为EN是平面AMN与平面PCD的交线,且平面AMN⊥平面PCD   所以MN⊥平面PCD,   取CD中点F,连接NF   设MA=MB=a,BC=b,则MC=根号(a^2+b^2),   ∵MN⊥平面PCD,   ∴MN⊥PC,而△MPC中,N是PC的中点,于是MP=MC=根号(a^2+b^2),   ∵PA⊥平面ABCD,   ∴PA⊥AM,PA=根号(PM^2-AM^2)=b,   于是PD=根号2b,而FN是△PDC的中位线,∴FN=根号2b/2.   ∵MF⊥CD,MN⊥平面PCD,   ∴FN⊥CD,∴∠MFN即为二面角P—CD—B的平面角,   设为α,于是:   cosα=FN/FM=根号2/2,α=45°,   即二面角P—CD—B的大小为45°.
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