记f(x,y)=x²+81/x²-2xy-(18/x)√(2-y²),研究它的最小值.f(x,y)=x²-2xy+y²+81/x²-(18/x)√(2-y²)+2-y²-2=(x-y)²+[9/x-√(2-y²)]²-2又记a=x-y,b=9/x-√(2-y²),有a+b=x+9/x-[y+√(2-y²)]≥6-[y+√(2-y²)]令y=√2cosθ,θ在[0,π]上,代入得a+b≥6-(√2cosθ+√2sinθ)=6-2sin(θ+π/4)≥6-2=4∴f(x,y)=a²+b²-2≥(a+b)²/2-2≥4²/2-2=6∴a的范围为(-∞,6]注：千万不要以为f(x,y)的最小值为-2,因为x-y=0和9/x-√(2-y²)=0不能同时成立,故而需要另辟蹊径.在本题中,取到最小值的条件为x=3,y=1