问题标题：
【求积分数学题积分从0到R{根号下[y(2R-y)y]dy}对不起我打错了.那个Y在根号外面.是跟号下[y(2R-y)]ydy】
问题描述：
求积分数学题
积分从0到R{根号下[y(2R-y)y]dy}
对不起我打错了.那个Y在根号外面.是跟号下[y(2R-y)]ydy
刘鸿儒回答：
[0,R]∫y√[y(2R-y)]dy=[0,R]{(-1/2)∫√[(2Ry-y²)]d(2Ry-y²)+[0,R]R∫√(2Ry-y²)dy}
=(-1/2)[(2/3)(2Ry-y²)^(3/2)]︱[0,R]+[0,R]R∫√[R²-(R-y)²]dy
=-(1/3)R³+[0,R]R²∫√{1-[1-(y/R)]²}d[1-(y/R)][将[1-(y/R)]看作下面公式中的u]
=-(1/3)R³+R²{[1-(y/R)]/2}√{1-[1-(y/R)]²}︱[0,R]+(1/2)R²arcsin[1-(y/R)]︱[0,R]
=-(1/3)R³+πR²/4.
其中直接用了公式：∫√(1-u²)du=(u/2)√(1-u²)+(1/2)arcsinu+C
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