一个容器,底面面积为S,水的高度为H 　　那么底面压强为ρgH,底面受到的压力为ρgHS,也就是水的重力 　　放入物体,水的高度上升为H+dH,若漂浮, 　　则底面压强为ρg(H+dH),底面受力为ρg(H+dH)S,也就是水的重力加物体重力,又因为物体重力等于浮力,那么浮力就等于ρgdHS,dHS=dV,即排开水的体积,ρgdV就是排开水的体积的重力 　　同理,若沉底, 　　则水对底面压强为ρg(H+dH),物体对底面的额外压力为F,底面受力为ρg(H+dH)S+F,也就是水的重力加物体重力,因为物体受重力,浮力,支持力（不算对抗压强的额外支持力）三力平衡.所以,物体的重力就等于前后底面的压力差,即ρgdHS+F,等于浮力加支持力,所以,浮力等于ρgdHS=ρgdV,即排开的水的重力. 　　综上所述,即证.