第2讲范德蒙德行列式的几点应用 　　我们知道,n阶范德蒙德行列式 　　, 　　当这些两两互异时,．这个事实有助于我们理解不少结果． 　　例1证明一个n次多项式之多有n个互异根． 　　证设有个互异的零点,则有 　　,． 　　即 　　这个关于的齐次线性方程组的系数行列式 　　, 　　因此．这个矛盾表明至多有n个互异根． 　　例2设是n个两两互异的数．证明对任意n个数,存在惟一的次数小于n的多项式： 　　, 　　使得,． 　　证从定义容易看出的次数小于n,且,故只需证明唯一性即可． 　　设满足 　　,, 　　即 　　这个关于的线性方程组的系数行列式 　　, 　　故是唯一的,必须． 　　这个例子就是有名的拉格朗日插值公式． 　　例3设是个复系数多项式,满足 　　, 　　证明． 　　证设,取,分别以代入,可得 　　这个关于的齐次线性方程组的系数行列式 　　, 　　因此． 　　例4设n是奇数,是个复系数多项式,满足 　　, 　　证明． 　　证注意到当n是奇数时, 　　, 　　可按照例3的思路完成证明． 　　例5设A是个n阶矩阵,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关． 　　证设是A的两两不同的r个特征值,非零向量适合 　　,, 　　假设 　　, 　　那么有 　　,． 　　即 　　, 　　注意到 　　, 　　必须,于是,这证明了线性无关． 　　例6计算行列式 　　, 　　其中． 　　解注意到下面的等式： 　　即得 　　． 　　例7计算行列式 　　, 　　其中． 　　解直接利用例6可得 　　． 　　例8设是正整数,证明n阶行列式 　　能被整除． 　　证直接运用例6、例7可得 　　能被整除． 　　例9计算n阶范德蒙德行列式 　　, 　　其中． 　　解注意到当且仅当,可得 　　, 　　由此,的模．现在来确定的幅角：令,,故 　　对于上面考虑的j和k,总有,这意味着,因此 　　, 　　由此可设,其中 　　这样就求得了． 　　例10证明缺项的n阶范德蒙德行列式 　　证按的第一行展开行列式,可得 　　例11设有n个常数,n个两两不同的常数以及由x的恒等式 　　定义的一个多项式．对于一个已知多项式,定义另一个多项式,它为上面的恒等式中将分别代之以所得的x的恒等式所确定．证明用多项式除以所得的余式为． 　　证由于n阶范德蒙德行列式 　　, 　　按题设这里的行列式的最后一列展开,可知是个次数小于n的多项式．从条件知对每个, 　　, 　　必须,．由拉格朗日插值公式知 　　． 　　同理可求出由恒等式 　　所定义的多项式 　　． 　　设,其中的次数小于n．为证,只需证明时,即可．事实上,对每个,是易见的,因此结论成立． 　　例12设在上连续,在内存在2阶导数,证明在上有 　　, 　　这里． 　　特别地,存在,使 　　． 　　证在上构造函数 　　, 　　则在上连续,在内存在2阶导数．因,由中值定理存在,使,故再运用一次中值定理,存在,使,即 　　, 　　展开行列式即得 　　． 　　特别地,取,则有相应的,使上式成立,即 　　, 　　化简即得 　　． 　　例13设在内存在阶导数,．证明存在,使 　　． 　　证在上构造函数 　　, 　　在内存在阶导数．因,反复利用微分中值定理,存在,使,即 　　． 　　按第一行展开行列式得 　　, 　　左边按最后一列展开行列式,化简可得 　　． 　　例14设在内存在n阶导数,这里．证明存在,使 　　． 　　证置,,则．于是例14在本质上是例13的特殊情形．