问题标题:
【狄利克雷是德国著名数学家,函数D(x)=1,x为有理数0,x为无理数被称为狄利克雷函数,】
问题描述:
狄利克雷是德国著名数学家,函数D(x)=
①若x是无理数,则D(D(x))=0;
②函数D(x)的值域是[0,1];
③函数D(x)偶函数;
④若T≠0且T为有理数,则D(x+T)=D(x)对任意的x∈R恒成立;
⑤存在不同的三个点A(x1,D(x1)),B(x2,D(x2)),C(x3,D(x3)),使得△ABC为等边角形.
其中正确结论的序号是___.
蒋倩萍回答:
①∵当x为有理数时,D(x)=1;当x为无理数时,D(x)=0,
∴当x为有理数时,D(D(x))=D(1)=1;当x为无理数时,D(D(x))=D(0)=1,
即不管x是有理数还是无理数,均有D(D(x))=1,故①不正确;
②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
∴对任意x∈R,都有D(-x)=D(x),故②正确;
③若x是有理数,则x+T也是有理数;若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对x∈R恒成立,故③正确;
④取x1=-33
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