问题标题：
如图1，以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下
问题描述：
如图1，以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分．
①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上；
②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线．
黄鲜萍回答：
BC⊥MN．
证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD≌△HMF，
∴AC=HF=CD，
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，
∴∠HGF=∠DCM，∠GHF=∠IGC，
∠BIC=∠IGC+∠DCM，
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，
∴△ABC≌△FBH，
∵四边形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，
∴∠HBF=∠ABC，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BC⊥BH，
∵N是BC中点，M是HC中点，
∴MN∥BH，
∴BC⊥MN．
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