字典翻译 问答 小学 数学 已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹
问题标题:
已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹
问题描述:

已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹

胡先锋回答:
  设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(x,y)   则x²1/2+y²1=1,x²2/2+y²2=1   相减:   (x²1-x²2)/2+(y²1-y²2)=0   ∴(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)   (x1+x2)=-2(y1+y2)*(y1-y2)/(x1-x2)   根据中点坐标公式:   x1+x2=2x,y1+y2=2y   ∴2x=-4y(y1-y2)/(x1-x2)   ∵A,M,N,P四点共线   ∴kMN=kPA   ∴(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2)   ∴x=-2y*(y-1)/(x-2)   ∴x²-2x=-2y²+2y   ∴弦MN中点的轨迹方程为   ∴(x-1)²+2(y-1/2)²=3/2   轨迹为以(1.1/2)为中心的椭圆   在椭圆x²/2+y²=1内部的一段弧
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