高中数学

解析：所有顶点都在球面上，所以就是要求出球心（即三棱柱的中心、重心），求出三棱柱中心到顶点距离就是球的半径，三棱柱的中心，从三角形那一面的平面分析，是在中心的垂线上，从正方形那一面分析，也是中心的垂线上，两个垂线的交点，就是三棱柱的中心了。

1，算出等边△的顶点到三角形中点的距离，勾股定理，30°所对边等于斜边的一半，所以其实三角形中点是将三角形的高按照（1:2）的比例分成3分的，d1=a*（2/3）*sin60°=a*√3/3，

2，算出三棱柱中心到正方形侧边的距离，d2=d1

3，三棱柱中心到等边三角形中心距离是1/2的正方形边长，d3=1/2a

4，r=√（d2²+d3²）=a*√(7/12)

5,球的表面积=4πr²=a²*π*（7/3），答案一致。