已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[−12，1)上的最大值为38，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的

已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．

（1）若f（x）在x∈[−12，1)上的最大值为38，求实数b的值；

（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设F(x)＝

f(x)，x＜1g(x)，x≥1，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．