问题标题：
如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为______．
问题描述：
如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为______．
刘瑞成回答：
设3n+1=m2，则3n=m2-1=（m+1）（m-1），
故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，
不妨设m-1=3a，
则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，
当n=8时，3n+1=25满足题意，此时，n+1=9=32，
∴k的最小值是3．
故答案为：3．
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