△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD=BE.求证AB=AC.证明（一）：分别作AM‖BD.AN‖CE,分别交BC延长线于M、N；令AB=c,AC=b,BDC=a,BD=CE=L,AM=m,AN=n；∠ABC=2α,∠ACB=2β,AE=x,AD=y. 　　由角平分线定理,x=bc/(a+b),y=bc/(a+C),m/n=(a+c)/(a+b)(1)； 　　cos∠ABM+COS∠ABC=0,cos∠ACN+cos∠ACB=0.化简既得 　　　m^2=c/a[(a+c)^2-b^2],n^2=b/a[(a+b)^2-c^2)](3).将(3)代入(1)化简既得b=c,命题得证. 　　证明（二）：b/c=sin∠2α/sin∠2β=(sin∠α/sin∠β).(cos∠α/cos∠β)；=(y/x).(1+cos∠2α)/(1+cos∠2β)(1). 　　(1+cos∠2α)=[(a+c^2)-b^2]/2ac,(1+cos∠2β)=(a+b^2)-c^2]/2ab；把X=bc/(a+b),y=bc/(a+c)代入(1)化简既得 　　　b=c.命题得证. 　　　证明（三）:S△ABD+S△DBC=S△ACE+S△BCE=S△ABC,即 　　(1/2)L(a+c)sin∠α=(1/2)ac(sin∠2α)(1),(1/2)L(a+b)sin∠β=(1/2)ab(sin∠2β)(2),(1)/(2)化简既得 　　[ccos∠α/cos∠β]=(ab+bc)/(ac+bc).假设b>c或α>β均得出矛盾.从而命题得证.