字典翻译 问答 高中 数学 观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照以上式子规律:(1)写出第4个等式,并猜想第n个等式;(n∈N*)(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个
问题标题:
观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照以上式子规律:(1)写出第4个等式,并猜想第n个等式;(n∈N*)(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个
问题描述:

观察下列等式:

(1+1)=2×1

(2+1)(2+2)=22×1×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

照以上式子规律:

(1)写出第4个等式,并猜想第n个等式;(n∈N*)

(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立.(n∈N*)

刘荫忠回答:
  (1)(1+1)=2×1,   (2+1)(2+2)=22×1×3,   (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,   第4个等式,(4+1)(4+2)(4+3)(4+4)=24×1×3×5×7;   猜想第n个等式:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*)   (2)①当n=1时,左边=(1+1)=2,右边=2×1=2等式成立;   ②假设当n=k时,原式成立,即:(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1)(k∈N*)   那么,当n=k+1时,左边=:(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)   =[(k+1)(k+2)(k+3)…(k+1+k−1)](k+1+k)(k+1+k+1)k+1
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