1. 　　sin54°=sin(90°-36°)=cos36° 　　其中由三倍角公式和二倍角公式有： 　　sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18° 　　cos36°=1-2(sin18°)^2 　　代入sin54°=cos36°移项有方程 　　4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0 　　分解方程为(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0 　　共有三个 　　sin18°=1 　　sin18°=(-1+√5)/4 　　sin18°=(-1-√5)/4 　　验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解 　　2. 　　令z=cos72°+isin72°,则z^5=1.即 　　(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0 　　因为z≠1,所以z^4+z^3+z^2+z+1=0 　　z^2+z+1+1/z+1/z^2=0 　　令y=z+1/z,则y^2+y-1=0. 　　解得:y=(-1±√5)/2 　　又y=z+1/z=2cos72°>0 　　所以cos72°=(-1+√5)/4 　　故sin18°=cos72°=(-1±√5)/4. 　　验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解 　　3. 　　0=ctg90°=ctg(54°+36°)=(ctg54°ctg36°-1)/(ctg54°+ctg36°) 　　即0=ctg54°ctg36°-1 　　其中由三倍角公式和二倍角公式有： 　　ctg54°=[（ctg18°)^3-3ctg18°]/[3(ctg18°)^2-1] 　　ctg36°=[（ctg18°)^2-1]/2ctg18° 　　代入0=ctg54°ctg36°-1化简有 　　（ctg18°)^2=5±√20 　　又ctg18°=cos18°/sin18°, 　　即（ctg18°）^2=[1-(sin18°)^2]/(sin18°)^2=[1/(sin18°)^2]-1=5±√20 　　化简有sin18°=[√6±(√20)]/4=(√5±1)/4 　　其中验算消去(√5+1)/4项 　　有sin18°=(√5-1)/4