根据两复数相乘的公式,设Z=r(cosx+isinx),Z'=r'(cosx'+isinx') 　　则Z*Z'=rr'(cos(x+x')+isin(x+x')) 　　令Z=Z',得Z^2=r^2(cos2x+isin2x) 　　继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos3x+isin3x) 　　设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x) 　　则n=k时 　　Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x)×r(cosx+isinx) 　　=r^k[cos(k－1)xcosx－sin(k－1)xsinx＋i﹙sin(k－1)xcosx＋sinxcos(k－1)x﹚] 　　=r^k(coskx+isinkx),也成立 　　∴n∈N,Z^n=r^n(cosnx+isinnx) 　　或者不用数学归纳法,可以这样证明： 　　引入欧拉公式：e^ix=cosx+isinx 　　将e^t,sint,cost分别展开为泰勒级数： 　　e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+……+t^n/n!+…… 　　sint=t-t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-…… 　　cost=1-t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-…… 　　将t=ix代入以上三式,可得欧拉公式 　　应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n=(e^ix)n 　　=e^inx 　　=cos(nx)+isin(nx)