高等数学第六版P270第14题目关于积分第一中值定理的证明,为什么要那么麻烦?

这样为什么不对?（在这为了方便,积分区间区间a,b就省略不打了）

把f(x)g(x)都看做被积函数,整体应用中值定理,得

∫f(x)g(x)dx=f(ε)g(ε)*(b-a)

又有∫g（x）dx=g(ε)*(b-a)

代入上式就可以了,得∫f(x)g(x)dx=f(ε)*∫g（x）dx,哪里出错了?